dimensions fractales de Mandelbrot et théorie du chaos -14- l'autosimilarité comme force

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Dimensions en chaîne

Quand une courbe se dessine au cours du temps, ses points sautent d'une position à l'autre de cette courbe. Avec un attracteur étrange on ne voit plus des points sauter sur une courbe mais sur une surface ?
Il n'y a qu'à se rendre à l'évidence : un attracteur étrange ne représente pas l'évolution d'une courbe mais celle d'une surface.

Nous allons faire l'hypothèse que cette mutation de la figure par augmentation du nombre de ses dimensions (surface 2D remplaçant une courbe 1D) aurait à voir avec la mutation de la dimension fractale représentée : une courbe représenterait une dimension fractale "1" et une surface représenterait une dimension fractale "2".
Mais on ne peut comprendre la signification de cette mutation si l'on ne considère que le fonctionnement d'un attracteur étrange, aussi nous devons maintenant proposer une hypothèse générale sur l'enchaînement de tous les types de dimensions. Pour présenter notre hypothèse, nous la résumons dans un tableau.

Chaque ligne horizontale correspond à une dimension fractale, comptée de 0 à 3.

     - dans la 1^ère ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 0, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer des contrastes [revoir E cela].
Les 2 premières cases de cette ligne montrent un fonctionnement analogue à celui que l'on a décrit pour le mode de génération des nombres entiers : instabilité du 0 dont la vibration dévide d'un coup tous les nombres jusqu'à l'infini [revoir E le chapitre "Reprenons à partir de zéro"].
Nous dirons donc que cette dimension fractale 0 est celle des nombres entiers.

     - dans la 2^ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 1, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer des trajets [revoir E cela].
Cette dimension fonctionne par la mesure simultanée de deux grandeurs, comme cette caractéristique est aussi celle des nombres complexes, nous dirons donc que cette dimension fractale 1 est celle des nombres complexes.

les nombres complexes peuvent s'écrire
a + ib (ou i est la racine carrée de -1)
ou être représentées par un couple de nombre (a,b)

     - dans la 3^ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 2, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer la déformation interne des corps [revoir E cela].
Dans le chapitre "Reprenons à partir de zéro" [revoir E ce chapitre], nous avons expliqué pourquoi les nombres décimaux réclament une dimension 2 pour être produits et conservés, nous dirons donc que cette dimension fractale 2 est celle des nombres décimaux.

     - dans la 4^ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 3. Jusqu'ici nous n'avons pas encore proposé de signification à ce type de dimension.
Nous suggérons maintenant que cette dimension soit celle de l'espace-temps et des repères d'espace-temps tels qu'on les considère habituellement.
La dimension 3 étant spécialisée dans l'interférence des dimensions qui la précédent, nous proposons de considérer cette dimension comme étant celle qui permet de combiner la dimension des nombres entiers, celle des nombres complexes et celle des nombres décimaux.
Comme c'est l'introduction des nombres de base 10 qui permet de calculer de façon commode les nombres dans tous les cas de figures, nous dirons donc que la dimension 3 est la dimension des nombres de base 10.


La 1ère ligne correspond donc aux dimensions fractales qui ont 0 pour partie entière. Comme nous l'avons déjà suggéré, ces dimensions servent à calculer les contrastes.

     - dans la 1ère colonne, nous trouvons la figure mathématique qui permet de réaliser la mesure [la légende décrivant la fonction de chaque colonne est en bas du tableau]. Comme un contraste peut se mesurer par un rapport entre deux grandeurs, le résultat de ce rapport est simplement un nombre, et un nombre peut toujours être représenté à l'aide d'un point sur un axe. La 1ère case est donc ici illustrée par un point, mais comme ce point n'est pas fixe et qu'il est au contraire susceptible de se déplacer sans cesse sur un courbe, on dira qu'il s'agit d'un point "non stabilisé". C'est le déséquilibre perpétuel d'un tel point sous l'effet de sa contradiction interne, qui provoquerait son déplacement incessant.
     - dans la 2ème colonne, on trouve la dynamique avec laquelle fonctionne l'instrument de mesure décrit en 1ère case. Comme on vient de le dire, la dynamique d'un point instable, c'est une courbe. On peut dire aussi un trajet.
     - la 3ème colonne correspond à la façon dont s'opère la mesure de la dimension. Ce qu'on mesure en fait, c'est l'effet provoqué par la déformation sur le milieu où elle s'exerce. La nature de la mesure dépend de la nature de cette réaction du milieu. Ici, la déformation consiste à provoquer un contraste, c'est donc sous la forme d'une mesure de proportion que se fait sa mesure.
     - dans la 4ème colonne, nous trouvons la façon dont s'organise la déformation mesurée, c'est-à-dire finalement la façon dont le phénomène nous apparaît dans la réalité. Ici, nous avons donné l'exemple du "fromage" de Cantor qui se construit comme une poussière de Cantor [revoir E une poussière de Cantor] à partir d'une proportion que l'on retrouve identique à toutes les échelles de lecture.

Dans chaque coin de case, nous avons une valeur de dimension qui permet de lire le tableau dans un ordre de progression diagonal. C'est une lecture qui est donc à la fois croisée avec la progression des lignes et avec la progression des colonnes.
On remarque que sur chaque diagonale lue du bas à gauche vers le haut à droite, les dimensions sont les mêmes. Cela signifie que la progression diagonale est équilibrée pour toutes les cases dans le sens de lecture des diagonales qui vont du haut à gauche vers le bas à droite.

Quand on tombe sur la valeur 3, cela signifie que l'on est dans la case de la dimension où s'exerce le caractère autosimilaire de la dimension fractale en question.
Pour la dimension 0, c'est donc en 4ème case qu'apparait ce caractère, et la présence du fromage de Cantor dans cette case est bien cohérente avec ce caractère.

Quand on tombe sur la valeur 2, cela signifie que l'on est dans la case où s'exerce la valeur décimale de la dimension.
Pour la dimension 0, c'est en 3ème case qu'apparait ce caractère, qui est donné par le résultat de la proportion mesurée.

Quand on tombe sur la valeur 1, cela signifie que l'on est dans la case où s'exerce la fonction complexe de la dimension.
Ici elle n'est pas très "complexe" puisqu'il s'agit d'une seule courbe que l'on trouve en 2ème case.

Quand on tombe sur la valeur 0, cela signifie que l'on tombe sur la case qui exprime la valeur entière de la dimension.
On la trouve ici en 1ère case, qui est celle d'un point "même pas stabilisé". Le nombre 0 pour cette case semble approprié.

La 2ème ligne correspond aux dimensions fractales qui ont 1 pour partie entière, et qui sont spécialement adaptées à calculer les trajets.

     - dans sa 1ère case nous avons mis l'état "de ce qui sert à la mesurer" : ce sont des courbes hyperboliques. La caractéristique d'une hyperbole est que pour tous ses points le produit de l'abscisse par l'ordonnée a une valeur constante. Gauss, qui a donné aux nombres complexes la présentation que les mathématiciens utilisent toujours, a aussi montré que les nombres complexes avaient à voir avec la courbure hyperbolique d'un espace. Ces travaux ont trouvé leur plein accomplissement dans la notion de courbure de l'espace par les masses qu'a proposé Einstein, ce calcul faisant appel précisément aux nombres complexes. Nous rappelons que selon la lecture diagonale et selon la lecture par lignes de notre tableau, nous sommes avec cette case dans la dimension des nombres complexes.
     - la dynamique que l'on trouve en 2ème case a son origine dans ce qu'on vient de dire sur la particularité d'une courbe hyperbolique : ce qui a ici valeur de constante, ce n'est pas une seule valeur isolée mais le produit de deux grandeurs, l'une qui sert d'abscisse et l'autre qui sert d'ordonnée. La dynamique de cette dimension est donc celle de la coordination continue de deux dimensions de type "0". Selon l'importance respective de ces 2 dimensions variera la valeur décimale de la dimension.
     - en 3ème case, on trouve la façon dont s'organise sa synchronisation à toutes les échelles (lecture diagonale) et la manière dont la dimension s'exerce (lecture par colonnes). Elle s'exerce par une impulsion de déplacement dans toutes les directions, que l'on a représentée comme nous l'avons suggéré en début de ce chapitre par une infinité de vecteurs pointant dans toutes les directions possibles [revoir E cette représentation]. La forme spécifique de chaque "bouquet de vecteurs" est donnée par la valeur décimale de la case précédente. La dimension autosimilaire à toutes les échelle est donnée par la forme identique à toutes les échelles de ce "bouquet".
     - en 4ème case, on trouve la façon dont la dimension nous apparait sous l'effet de l'interférence de ses 3 premiers aspects : elle nous apparait comme un trajet. Dans l'espace, un trajet correspond à une dimension entière "1". Selon la lecture diagonale du tableau, cette case doit indiquer la valeur de la partie entière de la dimension : c'est bien ce que l'on trouve.

La 3ème ligne correspond aux dimensions fractales qui ont 2 pour partie entière, et qui sont spécialement adaptées à mesurer des déformations internes.

- dans sa 1ère case nous avons mis l'état "de ce qui sert à la mesurer" : ce sont des surfaces ainsi que nous l'avons vu dans notre analyse des attracteurs étranges [revoir E cela]. Selon la lecture diagonale, cette case doit servir à porter la valeur décimale de la dimension : c'est la courbure de cette surface qui correspond à cette valeur. Pour la dimension fractale "0", cette valeur décimale était donc seulement unidimensionnelle, pour la dimension fractale "1", la valeur décimale était le résultat de la combinaison de 2 dimensions, et pour la dimension fractale "2", cette valeur décimale est donc la combinaison de 3 dimensions : les 2 dimensions qu'il faut pour faire une surface, plus la valeur de la déformation de cette surface.

Que l'unité de mesure de cette dimension soit une surface peut se comprendre de la façon suivante :

Il s'agit de mesurer la déformation d'un corps sur lui même, ce qui implique que tous les points de ce corps se coordonnent de façon permanente entre eux pour s'échanger leur place. Pendant toute la déformation, il faut en effet qu'il n'y ait jamais deux points qui occupent le même emplacement, car cela laisserait des places vides, des trous aux endroits délaissés, et cela créerait des sur-densités aux endroits sur-occupés.

Chaque point suit donc son propre trajet, ce qui correspond à une dimension 1, et doit jouer en même temps un rôle dans la dimension de densité du corps pour que cette densité reste constante. Or, une dimension de densité est une dimension de contraste de type "0".

Chaque point est donc soumis à l'influence simultanée de 2 dimensions de types différents : une dimension de type "1" et une dimension de type "0".
Quand un point est soumis à la coordination de 2 dimensions similaires, cette coordination peut se résumer dans une seule dimension de type "1", ainsi qu'on l'a vu à la ligne précédente, mais quand chaque point est sous l'influence de deux dimensions de nature différente, elles ne peuvent se combiner et l'évolution du point doit être décrit simultanément par ces deux dimensions.

Deux dimensions, cela fait donc une surface.
C'est à décrire l'évolution de cette surface que doit servir une dimension fractale "2".

- dans la 2ème case de cette dimension, on trouve la dynamique d'évolution de cette surface. On a vu qu'il s'agit d'un "attracteur étrange" autosimilaire à lui-même à toutes les échelles [revoir E cela]. La position de cette case dans la lecture diagonale du tableau correspond à la synchronisation entre toutes les échelles, ce qui est bien cohérent avec la dynamique d'un attracteur étrange.
- en 3ème case nous trouvons que cette dimension se manifeste par des valeurs statistiques et non des valeurs continues. Chaque point obtenu est l'un des croisements des "0" et "1" qui s'exercent en même temps pour faire la surface décrite dans la 1ère case. Ces croisements ne peuvent pas être reliés en continus l'un l'autre, car cela voudrait dire que ces 2 dimensions 0 et 1 de nature différente ont trouvé une dimension de coordination commune, ce qui est impossible ou nous ramènerait à la dimension fractale de la ligne précédente. Cette case doit porter la valeur du nombre entier de la dimension fractale : que chaque point soit le croisement de 2 courbes séparées correspond bien à la valeur "2" de cette dimension.

On a dit que cette dimension sert à mesurer les phénomènes liés à la force nucléaire de cohérence de la matière, parce que les particules de matière sont fondamentalement des corps qui se déforment sur eux-mêmes [revoir E cela].
Nous expliquons par ailleurs dans la section "science" que cette caractéristique concerne également la force de gravité [voir E ce développement]. On se demande donc pourquoi la force de gravité entre deux corps peut se décrire de façon continue avec les dimensions fractales "1", alors que la position d'un électron dans un atome ne peut être calculée que de façon statistique avec des dimensions fractales "2" ?

L'explication serait la suivante :
Dans le cas de l'attraction gravitaire, on considère deux corps bien séparés l'un de l'autre, de telle sorte que la dimension fractale 0 de "densité" exerce son influence de manière symétrique par rapport à l'axe qui joint les centres de gravité des 2 corps.
C'est cette symétrie qui permettrait de négliger l'effet de la dimension de densité.

Quand il n'y a que deux corps en jeu et qu'ils sont extérieurs l'un de l'autre, les effets de l'un sour l'autre restent symétriques : on peut alors négliger les interférences latérales qui se compensent et résumer l'ensemble des efffets produits par seulement deux vecteurs

Par contre, dès qu'il y a trois corps en présence, on retrouve le problème des interférences non symétriques qui ne permettent plus de résumer toutes les forces qui s'exercent sur les corps par des vecteurs uniques passant par leur centre de gravité, et qui obligent à garder étalé le nombre infini des vecteurs qui servent à mesurer chacune des dimensions en chaque point.

Dans le cas d'un électron dans un atome on n'a pas à faire à une particule qui est séparée, car elle est toujours à l'intérieur du proton, et la dynamique du proton et de l'électron sont des dynamiques qui se complètent et s'interpénètrent profondément.
Mais peut-être, sachant que l'électron est à l'intérieur d'un proton et non pas à l'extérieur de lui et isolé dans le vide (c'est en tout cas notre hypothèse [revoir E cela]), peut-être serait-il possible de neutraliser dans le calcul l'effet du proton et ainsi se ramener à calculer une dimension fractale 1 de trajet continu ? C'est en tout cas l'un des espoirs que permet l'analyse de ce tableau des dimensions fractales.

- dans la 4ème case, nous avons la façon dont nous apparaît la dimension. Ce qui nous apparaît est donc un corps qui se déforme sur lui-même par l'échange de position coordonnée de tous ses points. Dans la lecture diagonale du tableau, cette case est celle de la dimension complexe. Nous ne connaissons pas assez la mathématique des nombres complexes pour interpréter cette case.

La 4ème et dernière ligne correspond aux dimensions fractales qui ont 3 pour partie entière, et qui sont donc les dimensions usuelles de l'espace-temps.

     - dans sa 1ère case nous avons mis l'état "de ce qui sert à la mesurer" : c'est un volume d'espace. Comme il intègre les 3 dimensions des lignes précédentes, il doit être muni de 3 courbes pour correspondre au croisement de 3 dimensions de natures différentes et impossibles à combiner entre elles. Cette case étant celle de la dimension d'autosimilarité d'échelle, aussi bien dans le sens diagonal que dans le sens vertical de lecture du tableau, ses courbes doivent être autosimilaires. Elles doivent donc être droites, avoir même origine et même unité de mesure.
     - dans la 2ème case, nous avons la dynamique de ce repère 3 D. Cette dynamique consiste à repositionner en permanence tous les points à la même place par rapport au point qui sert d'origine. L'absence de mouvement qui en résulte n'est pas due à l'absence réelle de mouvement, mais à la combinaison complexe du mouvement dans les 3 directions de l'espace, de telle sorte qu'en permanence ces mouvements se neutralisent exactement. La fixité qui en résulte est donc due à une coordination dans 3 dimensions distinctes, c'est pourquoi "3" est la valeur entière de la dimension fractale qui exprime cette case.
     - dans la 3ème case, nous avons la dimension complexe sous laquelle doit se faire la mesure. L'essence de cette mesure est qu'elle se fait "d'un point à un autre", c'est-à-dire que l'on mesure la position de chaque point par rapport à l'origine.

Si l'on observe toute la 3ème colonne en remontant, on voit que cette mesure se fait en augmentant chaque fois le nombre des dimensions des "instruments de mesure" :
- dans la dimension 2 juste au dessus, la mesure se fait à l'aide de l'intersection de deux courbes,
- dans la dimension 1 encore au dessus on l'a représentée avec des vecteurs qui occupent toutes les directions de l'espace mais la valeur de ces vecteurs s'exprime finalement par la surface que forme leurs extrémités,
- et dans la dimension 0 enfin, c'est tout un volume que l'on doit comparer à un autre pour mesurer la proportion entre les deux.

Si l'on redescend cette 3ème colonne, l'instrument de mesure se transforme donc de la manière suivante : des volumes, des surfaces, des trajets, des points.

La même évolution par gain d'une dimension chaque fois se fait aussi pour les figures que l'on rencontre dans les autres colonnes.
- dans la 1ère colonne, qui concerne "l'unité de mesure", on commence avec un point pour la dimension fractale 1, puis on passe à la courbe, puis à la surface, et enfin au volume.
- dans la 2ème colonne qui concerne la dynamique de l'unité de mesure, on commence par le point fixe avec la dimension 3, puis on continue avec la dimension 0 et la dynamique du trajet continu (on sait que le tableau se poursuit indéfiniment en remettant à sa suite les lignes précédentes), ensuite vient la dimension 1 et la coordination de 2 dimensions qui a valeur de surface constante, puis avec la dimension 2 on trouve l'attracteur étrange dont on a vu par l'exemple du robinet qui goutte, qu'il se construit en groupant des coordonnées par 3.
Au passage, on peut noter que cela implique qu'un attracteur étrange soit donc une figure qui a valeur de volume et dont l'unité élémentaire soit une surface.
- la 4ème colonne concerne la façon dont la dimension apparait finalement sous la forme du phénomène que l'on observe. On y retrouve aussi une progression de ligne à ligne, mais cette fois cette progression a un caractère plus abstrait car l'on y retrouve l'essence des dimensions "selon l'univers" [nota : cette notion de "dimensions selon l'univers" résulte des développements de la première partie de l'ouvrage "l'adieu au big-bang" qui ne sont pas exposés sur ce site. Les remarques qui suivent seront donc difficiellement compréhensibles pour qui n'a pas lu cet ouvrage. Cependant cette notion a déjà été abordée à l'occasion des dimensions qui agissent dans le cas du robinet qui goutte, et vous pouvez utilement revoir ce passage] Or ces dimensions ne constituent pas seulement la combinaison d'un nombre de plus en plus grand de dimensions : en naissant chacune opère une véritable mutation de nature qui la différencie radicalement des autres. On va voir que la valeur des dimensions fractales correspond à la valeur des "dimensions selon l'univers" qui "font la même chose", ce qui est d'autant plus remarquable que chaque case du tableau des dimensions fractale est décalée d'une dimension si on les compare à celle du tableau des dimensions selon l'univers [reportées dans la 2ème colonne à gauche du présent tableau].

Dans cette 4ème colonne :

     - la dimension fractale 0 mesure une certaine densité de "choses" qui apparaissent "sans venir de nulle part", elle mesure donc la densité d'un flux qui se crée sans cause visible. Cette dimension fractale peut donc mesurer par exemple la densité du flux d'énergie qui pénètre dans notre univers pour former un quasar, une énergie qui parait bien venir de nulle part puisqu'elle n'était pas auparavant dans notre univers [voir E cela].

     - la dimension fractale 1 correspond à un mouvement qui fait s'écarter un point dans toutes les directions de l'espace, et qui peut le faire errer éventuellement sans jamais le faire revenir à une de ses anciennes positions. Par exemple, lorsqu'elle a la valeur maximale de 1,999999... cette dimension mesure la dispersion complète d'un gaz dans l'air d'une pièce sous l'effet du mouvement brownien de ses molécules [voir E cela]. Cette dimension fractale est équivalente à la dimension 1 selon l'univers, c'est-à-dire à la dimension dont l'essence est de diviser, de segmenter, de répartir.

     - la dimension fractale 2 correspond à la déformation interne d'un corps. Elle est équivalente à la dimension 2 selon l'univers qui rassemble et compacte pour permettre que le mouvement se boucle en cycle fermé [voir E cela]. La dimension selon l'univers fait donc très exactement la même chose que la dimension fractale qui lui correspond.

     - la dimension fractale 3 correspond à "l'espace-temps traditionnel". Il nous reste à en voir la 4ème case sous laquelle cette dimension nous apparait.

- dans la 4ème case, nous retrouvons l'espace-temps traditionnel.
Nous n'avons pas besoin d'innover, nous l'illustrons comme la tradition : un point qui se déplace forme une droite qui se déplace pour former un plan qui se déplace pour former un volume. Dans le sens diagonal, cette case correspond à la valeur décimale de cette dimension. Cette valeur décimale dépend de la vitesse relative avec laquelle ces 3 déplacements s'effectuent.
On remarque que l'espace-temps obtenu par construction d'une droite puis d'une surface puis d'un volume, ne changera pas si l'on se sert d'un autre des 3 axes pour servir de 1ère droite par laquelle débute la construction : l'ordre des 3 déplacements qui génèrent le volume est permutable. Les 3 dimensions sont donc devenues similaires entre elles, et cela à toutes les échelles. Dans sa signification de "dimension selon l'univers" [voir E plus haut à quoi cela correspond], la dimension 3 correspond aussi à l'interférence autosimilaire des 3 premières.
Nous trouvons donc dans la signification de la dimension fractale 3, la réconciliation enfin obtenue des 3 premières dimensions fractales : elles trouvent enfin le moyen de se combiner de telle façon qu'on ne peut plus différencier les 3 axes de l'espace, attribuer l'un ou l'autre spécialement à la dimension 0 ou à la dimension 1 ou à la dimension 2.

À l'issue de toutes ces réflexions, la conception traditionnelle de mesure de l'espace par 3 axes orthogonaux gradués nous apparaît donc comme une méthode parmi quatre méthodes radicalement différentes l'une de l'autre pour mesurer les phénomènes, quatre méthodes complémentaires l'une de l'autre, et toutes contenues les unes dans les autres.
Finalement ce que l'on a découvert, c'est qu'une dimension n'est rien d'autre au fond que l'une des 4 façons possibles de combiner entre elles 4 dimensions, l'une des 4 façons possibles de faire permuter leurs rôles complémentaires.

L'intérêt que peut présenter ce tableau serait d'aider à comprendre comment mesurer de façon "non probabiliste" les dimensions fractales 2.

On a donné en passant [revoir E plus haut ce passage] une indication qui pourrait peut-être permettre de transformer une dimension 2 en la ramenant à un dimension 1.
Mais de façon générale, l'idée serait de penser comment chaque dimension est la "dérivée" de la dimension juste au dessus, et sert de "primitive" à la dimension juste en dessous.
La maîtrise des dérivées par Newton et Leibniz a été en effet l'instrument mathématique qui a permis tous les développements du calcul scientifique depuis le XVIIème siècle.
Aujourd'hui, on considère toujours qu'une dérivée est le changement instantané que subit la direction d'une courbe : elle serait la limite de ce changement quand la durée de temps tend vers 0. Malgré l'efficacité de cette conception, il était malcommode de penser qu'un changement pouvait être véritablement réalisé en un temps nul : dans un temps nul, un changement ne peut qu'être nul.
Notre hypothèse qui propose que les dimensions soient fondamentalement des déformations, ne rencontre pas cette anomalie. Comme nous considérons qu'un trajet est fondamentalement la coordination de 2 déformations, nous pouvons très bien arrêter l'une des déformations en la rendant nulle, afin de mesurer l'autre déformation qui n'a pas alors de raison spéciale d'être nulle. Dans notre hypothèse, c'est cette valeur que prend l'une des déformations d'un trajet lorsque sa déformation associée s'annule, que nous appelons "dérivée".

La dynamique des dimensions 2 présente un caractère "volumique" qui provoque son caractère statistique, car on ne peut pas calculer les côtés d'un parallélépipède si on n'en connaît que le volume. Peut-être l'analyse de ce tableau permettra-t'elle à quelqu'un de trouver comment trouver l'évolution de la surface d'une des faces de ce parallélépipède, et de connaître ainsi de façon absolue la longueur des arêtes _?

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